Темы рефератов:
 
Бесплатные рефераты
 

 

 

 

 

 

     
 

Исследование эмпирической зависимости
     

 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ

ОБРАЗОВАНИЮ


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ

И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)


КУРСОВАЯ РАБОТА


ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости».


КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов».


Студентки группы МФ-3-95

Франковской К. И.


____________________________________________________________________________МОСКВА 1998


План


  1. Введение

  2. Исходные данные

  3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости

  4. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах

  5. Построение производной

  6. Построение темпа производной

  • Исследование на приближение к степенной зависимости

    1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости

    2. Построение графика BX

    3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах

  • Заключение

  • Используемая литература

  • Приложение


  • 1. Введение


    Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем.

    В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени.

    Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость.

    В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость.


    2. Исходные данные


    В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год.

    График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение).

    Эмиграция в США Эмиграция в США

    из Центральной Европы из СССР и стран Балтии

    (Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия)


    3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости

    3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах


    Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид:

    X=Cekt ,

    что является решением дифференциального уравнения:

    dX/dt = KX .

    Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t:

    lnX = kt + lnC .

    Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии




    Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре.

    Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется.

    По данному графику определяется темп роста, равный

    K = 2/1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) ,

    параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости.

    Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13.


    3.2 Построение производной

    Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле:


    Xґ(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) .


    Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается.

    Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и

    Центральной Европы стран Балтии


    3.3 Построение темпа производной


    График изменения темпа производной строится с использованием формулы:

    Xґ(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1) .

    Эмиграция в США из Эмиграция в США из

    Центральной Европы СССР и стран Балтии



    В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности.


    4. Исследование на приближение к степенной зависимости


    4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости


    Степенная функция имеет вид:

    X = X0(t – t0)B ,

    который является решением дифференциального уравнения следующего вида:

    dXdt = BX/(t – t0) .

    Производная степенной функции равна:

    Xґ = BX0(t – t0)B-1 .

    Темп роста степенной функции равен:

    Xґ/X = B/(t – t0) ,

    а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид:

    X/Xґ = (t – t0)/B .

    Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0.

    Интеграл степенной функции вычисляется по формуле :

    Y = Xґ(t – t0)B+1/B+1 .

    А обратный темп роста интеграла равен:

    Yґ/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) .


    Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле:

    B = ctg - 1 ,

    или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (1) к приращению функции (2) и 1.

    Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле:

    Y/Yґ = (Xt)/X .

    Эмиграция в США Эмиграция в США

    из Центральной Европы из СССР и стран Балтии



    Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение).

    Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов.

    На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой:

    • График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5

    • График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9


    4.2 Построение графика BX


    Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t0, построен график зависимости BX от времени.

    Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение).

    Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых.

    В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений.

    • Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t0 = 1890.

    • Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t0 = 1883.


    Эмиграция в США Эмиграция в США

    из Центральной Европы из СССР и стран Балтии



    4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах


    Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:


    X = X0(t – t0)B .

    Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t0:

    LnX = lnX0 + Bln(t – t0) .


    Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0.

    Для значений t0 (t – t0 = T1, t0= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение).

    Эмиграция в США Эмиграция в США

    из Центральной Европы из СССР и стран Балтии




    Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться

    • Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39;

    • Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 2,73.


    Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков BX , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение).


    Эмиграция в США Эмиграция в США

    из Центральной Европы из СССР и стран Балтии




    Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные

    • Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44;

    • Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 1,82.



    5.Заключение


    В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено:

    • эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11

    • эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13

    • эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров:

    В=2,5 t0= 1877

    В=2,39 t0= 1890

    В=2,44

    • эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров:

    В= 2,9 t0= 1875,5

    В= 2,73 t0= 1883

    В= 1,82


    6. Используемая литература


    1. Statistical History of USA.


    7. ПРИЛОЖЕНИЕ

         
     
         
    Онлайн рефераты
     
    Скачать Рефераты
     
    Бесплатные рефераты
     

     

     

     

     

     

     

     
     
     
      Все права защищены. Перепечатка учебных материалов только с письменного разрешения администрации сайта.